Molle

[AudioNaif]

Domanda di teoria, fisica classica invariante, curiosità mia.
Se un cilindro alto H e di sezione S di materiale con modulo elastico Es ha una certa costante di elasticità K,
quale sarebbe quest'ultima nel caso di un cono di sezione circolare S pari alla precedente e di altezza H sempre come il caso precedente del cilindro?

[baby rattle]

Domanda di teoria, fisica classica invariante, curiosità mia.
Se un cilindro alto H e di sezione S di materiale con modulo elastico Es ha una certa costante di elasticità K,
quale sarebbe quest'ultima nel caso di un cono di sezione circolare S pari alla precedente e di altezza H sempre come il caso precedente del cilindro?

Devi calcolare l'integrale da 0 ad h della formula che da la costante elastica in funzione dell'altezza e della sezione ed inserendo la legge di variazione della sezione con l'altezza.

Nella formula compare naturalmente il modulo di Young relativo al materiale considerato.

Quello che non volle fare pucacco, assistente di fisica all'università la sapienza di Roma, nell'articolo pubblicato su Fedeltà del suono n. 38.

[AudioNaif]

l'ho fatto, ma la cosa non mi quadra per nulla.
non so chi sia pucacco, ma il risultato che ho ottenuto io intuitivamente non mi convince.

Sopratutto perchè avrei allungamento infinito in corrispondenza della punta, cosa che evidentemente deve essere compensata da qualche diversa condizione al contorno, pena la rottura della punta anche per carichi bassi.

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l'ho fatto, ma la cosa non mi quadra per nulla.
non so chi sia pucacco, ma il risultato che ho ottenuto io intuitivamente non mi convince.

Sopratutto perchè avrei allungamento infinito in corrispondenza della punta, cosa che evidentemente deve essere compensata da qualche diversa condizione al contorno, pena la rottura della punta anche per carichi bassi.

Difficile avere idea a cosa tu ti riferisca, sarebbe meglio, se vuoi entrare così nello specifico, che scrivessi come hai calcolato l'integrale e quale sia il risultato.

[baby rattle]

l'ho fatto, ma la cosa non mi quadra per nulla.
non so chi sia pucacco, ma il risultato che ho ottenuto io intuitivamente non mi convince.

Sopratutto perchè avrei allungamento infinito in corrispondenza della punta, cosa che evidentemente deve essere compensata da qualche diversa condizione al contorno, pena la rottura della punta anche per carichi bassi.

Non convince neppure me, cosa c'entra il calcolo della costante elastica con la deformazione e la resistenza meccanica?

Ci mostri questo integrale?

[baby rattle]

moderatori, sempre nello spirito di questo forum, siamo vicini ad alcunchè di non accettabile dal versante degli argomenti portati, molto vicini e forse già oltre.

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moderatori, sempre nello spirito di questo forum, siamo vicini ad alcunchè di non accettabile dal versante degli argomenti portati, molto vicini e forse già oltre.

Aspettiamo a dirlo: aspettiamo i dettagli del calcolo in modo da poter valutare il risultato.

[AudioNaif]

Allora, descrivo a parole il conto. Con una carta e un foglio sarà più facile seguirlo.

Prendiamo un cilindro, in questo caso elementare, composta da materiale omogeneo e di peso supposto trascurabile
Definisco H=altezza, F=forza peso applicata, Es modulo elastico del materiale, S=sezione, dl allungamento (o accorciamento, a seconda del verso di F) si ha, essendo lo sforzo costante lungo tutta la sezione:

dl/H= 1/Es F/S

da cui, per analogia con la formula della forza elastica (F= K dl), otteniamo K= EsS/H, cioè la costante di molla di un cilindro è tanto più alta (=supporto cilindrico tanto più rigido) quanto più esso è largo e basso.
Quindi in dipendenza dal materiale e delle dimensioni la costante di molla sarà diversa. Per quanto riguarda Es, si va da 6,8 10^10 N/m2 per alluminio, a 1,7 per Pb, Acciaio 21 , Vetro 5, grafite non l’ho trovato.
Fino a qui non ho dubbi.

Prendiamo ora un cono ideale, indichiamo con x la coordinata longitudinale a partire dal vertice (x=0 S=0) e la cui legge di variazione della sezione con x sia di tipo lineare (essendo un cono) S(x)=Bx

Per ciascuna singola fetta di altezza dx e sezione S(x) l’allungamento o accorciamento che sia è:

dl=1/Es F/S(x) dx

integrando da 0 a H si cade in una singolarità per x=0 perché compare il log (integrale di 1/x) . Il significato fisico di tale singolarità mi pare sia il fatto che la punta del cono di sezione infinitesima supporta tutto l’allungamento necessario (infinito) per mantenere il legame elastico. E’ ovvio che tale condizione nella pratica non sia verificata perché 1) la punta non è mai ideale 2) al superamento del limite plastico la punta si spiana

Allora, ragiono al limite, prendendo un tronco di cono di sezione non nulla in x0= ma minima per x=x0, subito dopo la punta. In questo caso ho:

integrale(dl)= F/B 1/Es log (H/x0)
da cui

K= EsB log (H/x0)

al limite per x00 ho K infinito, cioè rigidezza ideale.

Ed è proprio da questo calcolo credo che la chiamiamola così vulgata corrente sostiene che il cono non è una molla.

Di fatto ci sono da considerare almeno due condizioni al contorno diverse nella realtà rispetto al caso ideale di cono perfetto sottoposto a due piani di rigidezza infinita qui supposto. Dove è la falla del conto riportato?

[baby rattle]

[quote="AudioNaif"]Allora, descrivo a parole il conto. Con una carta e un foglio sarà più facile seguirlo.

Prendiamo un cilindro, in questo caso elementare, composta da materiale omogeneo e di peso supposto trascurabile
Definisco H=altezza, F=forza peso applicata, Es modulo elastico del materiale, S=sezione, dl allungamento (o accorciamento, a seconda del verso di F) si ha, essendo lo sforzo costante lungo tutta la sezione:

dl/H= 1/Es F/S

da cui, per analogia con la formula della forza elastica (F= K dl), otteniamo K= EsS/H, cioè la costante di molla di un cilindro è tanto più alta (=supporto cilindrico tanto più rigido) quanto più esso è largo e basso.
Quindi in dipendenza dal materiale e delle dimensioni la costante di molla sarà diversa. Per quanto riguarda Es, si va da 6,8 10^10 N/m2 per alluminio, a 1,7 per Pb, Acciaio 21 , Vetro 5, grafite non l’ho trovato.
Fino a qui non ho dubbi.

Prendiamo ora un cono ideale, indichiamo con x la coordinata longitudinale a partire dal vertice (x=0 S=0) e la cui legge di variazione della sezione con x sia di tipo lineare (essendo un cono) S(x)=Bx

Magari la legge di variazione dell'area è quadratica e la variazione del raggio della sezione varia linearmente con l'altezza?

Per ciascuna singola fetta di altezza dx e sezione S(x) l’allungamento o accorciamento che sia è:

dl=1/Es F/S(x) dx

integrando da 0 a H si cade in una singolarità per x=0 perché compare il log (integrale di 1/x) . Il significato fisico di tale singolarità mi pare sia il fatto che la punta del cono di sezione infinitesima supporta tutto l’allungamento necessario (infinito) per mantenere il legame elastico. E’ ovvio che tale condizione nella pratica non sia verificata perché 1) la punta non è mai ideale 2) al superamento del limite plastico la punta si spiana

Allora, ragiono al limite, prendendo un tronco di cono di sezione non nulla in x0= ma minima per x=x0, subito dopo la punta. In questo caso ho:

integrale(dl)= F/B 1/Es log (H/x0)
da cui

K= EsB log (H/x0)

al limite per x00 ho K infinito, cioè rigidezza ideale.

Ed è proprio da questo calcolo credo che la chiamiamola così vulgata corrente sostiene che il cono non è una molla.

Di fatto ci sono da considerare almeno due condizioni al contorno diverse nella realtà rispetto al caso ideale di cono perfetto sottoposto a due piani di rigidezza infinita qui supposto. Dove è la falla del conto riportato?[/quote]



La falla sta nella sconclusionatezza del ragionamento.

Il cono più rigido è quello che non c'è (H=0) lo argomentavo a Binari contestando le conclusioni del recensore (Fedeltà del suono n. 38, Sulle punte, a firma pucacco, non ricordo il nome) da questo a dire che un cono reale non è una molla perchè per H=0 ha rigidezza infinita ci vuole un salto logico davvero incredibile che contraddice ogni e qualsivoglia verifica sul campo, anche quella del semplice rimbalzo !

Il valore numerico della costante elastica di un cono non ha nessuna importanza, ai fini del ragionamento che stiamo conducendo ovvero stabilire se il cono è una molla e soprattutto cosa scarica e secondo quale meccanismo lo fa più vantaggiosamente rispetto ai solidi ignoti.

E' stato chiesto di esporre il calcolo perchè si era letto il vanto di saper fare l'integrale ma l'integrale non si è visto mentre si è visto un balbettio poco scientifico.

Visto che di punte coniche se ne sono vendute milioni per svolgere la funzione di scarico delle vibrazioni e visto che c'è chi ha addirittura affermato che la punta del cono rivolta verso il basso accoppia e rivolta verso l'alto disaccoppia, interessa qui verificare gli assunti.

Quindi il tema è e resta: scarico delle vibrazioni e sua ottimale soluzione attraverso punta conica dotata di costante elastica K che possiamo fissare inizialmente SECONDO DESIDERIO per svolgere al meglio nelle diverse condizioni di impiego (sorgente, diffusori etc.) e successivamente realizzarla scegliendo materiale e determinandone le dimensioni.

Come dire, prima stabilisco se la nave è idonea a girare in circuito poi ci piazzo l'alettone davanti e l'alettone di dietro per farla correre più forte.

[AudioNaif]

Magari la legge di variazione dell'area è quadratica e la variazione del raggio della sezione varia linearmente con l'altezza?

C..zo! Vero è!
Ho fatto i conti per una punta di sezione ogivale (S=Bsqrt(x)) invece che per un cono rettilineo (S=Bx^2).
Invece che log(x) ottengo 1/x che ha comunque la stessa singolarità sulla punta del caso precedente.

Nel caso ideale quindi la punta è infinitamente più rigida di un cilindro? E’ questo il dubbio che mi resta, balbettii o meno.

Per quanto riguarda lo scarico delle vibrazioni, che non è il tema di questa discussione, che ho aperto causa contestazione di offtopic nella discussione originaria, seguirò volentieri le vostre argomentazioni nella discussione che vorrete aprire. Io ricordo forse proprio da FDS una argomentazione del genere: se la punta è di rigidezza infinita, alla massa del diffusore dovrebbe venire aggiunta quella del supporto cui lo stesso poggia.